I ) Force exercée par un ressort : Un ressort exerce une force proportionnelle à son allongement x = L - L0 : F = k . | L – L0 | = k . | x | où k est le coefficient de raideur du ressort exprimé en N.m-1 . Si le ressort est comprimé, est vers le solide, s'il est détendu, est vers le ressort. Expression vectorielle : On choisit un vecteur normé dans le repère Ox. Si x < 0 , et sont dans le même sens , si x > 0 , et sont de sens contraire : = - k . x . II ) Etude du système solide-ressort : 1) Oscillateur élastique libre non amorti : Un oscillateur élastique est constitué d'un ressort fixé, reliée à un solide. C'est un oscillateur mécanique. En l'absence de frottement, les oscillations sont libres et non amorties. 2) Etude du mouvement : On écarte le solide de masse m de sa position d'équilibre et on le lâche. Le ressort a une masse supposée négligeable et un coefficient de raideur k. On néglige tous les frottements. O est la position du centre d'inertie du solide à l'équilibre et M sa position à un instant t. Bilan des forces exercées sur le système : : poids du solide. P = m . g , vertical vers le bas : force du plan sur le solide, perpendiculaire au plan vers le haut. : force du ressort sur le solide, dans l'axe du ressort : = - k . x . On applique la 2ème loi de Newton dans le référentiel terrestre galiléen au système de masse m. On associe au référentiel un repère orthonormé : O, , . 2ème loi de Newton : + + = m . Projection sur l'axe (O, ) : 0 + 0 – k . x = m . x'' ( x" ou d2x/dt2) ⇒ m . x'' + k . x = 0 ⇒ x'' + (k / m) . x = 0 (équation différentielle) Cette équation n'est pas à résoudre, on propose l'expression suivante : x = xm cos(2π t /T0 + φ0 ) où T0 est la période propre de l'oscillateur élastique et φ0 est la phase à l'origine. Cette expression est-elle solution de l'équation différentielle du mouvement ? * vitesse : v(t) = dx/dt = x' = -xm (2π/T0) sin(2π t /T0 + φ0 ) ; * accélération : a(t) = dv/dt = d2x/dt2 = x'' = -xm (4π²/T02) cos(2π t/T0 + φ0 ) = - (4π²/T02) . x On remplace ces expressions dans l'équation différentielle : 0 = x'' + (k / m) . x = - (4π²/T02) x + (k / m) x x n'est pas toujours nulle, on a donc : -4π² / T02 + k / m = 0 T0 = 2 π (m / k) x = xm cos( 2π t / T0 + φ0 ) est bien solution de l'équation différentielle x'' + (k / m) x = 0 avec la période propre T0 = 2 π (m / k) Les oscillations libres d'un oscillateur élastique non amorti sont donc sinusoïdales. * Vérification par analyse dimensionnelle de la dimension de 2 π (m / k) : [ k ] = [ F / x ] = [ m.a / x ] = M.L.T-2 / L = M.T-2 [2 π (m / k)] = [ m / k ]1 / 2 = ( M / (M.T-2))1 / 2 = ( T2 )1 / 2 = T ( homogène à un temps) Pour définir précisément x(t), il faut définir xm et φ0 en tenant compte des conditions initiales : A t = 0 s , x = xm cos φ0 = x0 . Souvent , vx0 = 0 = - 2 π /T0 .sin φ0 , on a donc φ0 = 0 ou π . ⇒ si φ0 = 0, xm = x0 ; si φ0 = π , xm = - x0 (impossible x0>0). Solution : x = x0 cos ( 2 π t / T0 ) Remarque : Si on tient compte des forces de frottements pour les faibles vitesses : = - k'. Elle s'oppose au déplacement. L'équation différentielle devient : x'' + (k'/m).x' + (k/m).x = 0 III ) Oscillations libres amorties : S'il n' y a pas de frottement, les oscillations sont sinusoïdales. Si les frottements sont faibles, l’amplitude des oscillations décroît . Le régime est pseudo-périodique. La pseudo-période T est voisine de la période propre T0 .